mercredi 23 septembre 2015

ALAIN BADIOU : «LE PHILOSOPHE NE PEUT PAS RIVALISER AVEC LE MATHÉMATICIEN DANS LE CHEMINEMENT VERS LA VÉRITÉ»

[ Cliquez sur l'image pour l'agrandir ]
ALAIN BADIOU. PHOTO OLIVIER ROLLER

Alain Badiou, le philosophe qui aime les maths, relu et corrigé par Pierre Cartier, le mathématicien qui aime la philo ? C’est la proposition faite par «Libération» aux deux chercheurs. Car si la vérité préoccupe l’un et l’autre, seul le mathématicien sait qu’un jour il a juste. D’où cette fascination, et cette envie, de rapprocher deux sciences qui, sans cesse, s’éloignent l’une de l’autre.
ALAIN BADIOU : «LE PHILOSOPHE NE PEUT PAS RIVALISER AVEC LE MATHÉMATICIEN DANS LE CHEMINEMENT VERS LA VÉRITÉ»
en mathématiques, il faut admettre le regard des autres qui cherchent les failles, les trous dans une démonstration. Nous avons donc demandé à Pierre Cartier, longtemps collaborateur de Bourbaki, le mathématicien polycéphale qui a refondé les mathématiques modernes, de lire Eloge des mathématiques, qui vient d’être publié par Alain Badiou. Le philosophe marxiste se fait ainsi rappeler à l’ordre sur cinq points : le rôle de l’histoire, le dépassement de la vérité mathématique, l’aristocratie cultivée par les matheux, la diffusion des maths et le cheminement de la pensée. Mais comment un mathématicien peut-il réfuter l’idée que les maths deviennent autre chose «qu’un opérateur ennuyeux de sélection sociale» et réintègre la culture au même titre que l’Odyssée de Homère ? Entretien avec Alain Badiou.

Pourquoi cette fascination pour les maths ?

Mon père était mathématicien, c’est la raison la plus plate, mais peut-être aussi la plus forte. Ensuite, j’ai eu en seconde, première et terminale de bons profs. Ils suscitaient l’intérêt pour les problèmes et pas seulement pour les résultats corrects. Je crois que c’est l’élément clé de la didactique mathématique. Enfin, j’ai considéré très tôt qu’il y avait un lien profond entre les mathématiques et la philosophie. Platon, Leibniz ou Descartes étaient des mathématiciens de haut niveau. Kant ou Spinoza affirment que la philosophie en tant que science qui se veut rationnelle a un lien étroit aux maths. Or je constate que ce lien se trouve distendu.

Faut-il retisser le lien entre philosophie et maths ?

Il le faut. Dans une conversation que j’ai eue avec Jean Dieudonné [mathématicien au cœur du groupe Bourbaki qui a refondé les mathématiques modernes après 1945, ndlr], lui, qui était un conservateur, déclarait : «Les philosophes font comme s’il était totalement impossible de pénétrer les mathématiques. C’est tout à fait faux, si l’on s’y met, on peut.» Je crois que c’est vrai. Les maths ont toujours été un continent difficile à aborder. La géométrie dans l’espace était extrêmement compliquée pour un Grec à l’époque de Platon. Idem pour le calcul différentiel à l’époque de Leibniz. La géométrie algébrique après Grothendieck n’est pas élémentaire non plus, mais il faut essayer.

Faut-il saisir l’essence des maths, saisir la rigueur des mathématiciens ?

Il faut accepter de ne pas avoir un regard extérieur. Etre spectateur ne suffit pas. Il faut faire l’expérience du chemin. L’essence des maths est le cheminement de la pensée. L’usage que l’on peut faire en philosophie de la poésie ou de la musique n’oblige pas à devenir poète ou musicien. Mais vous ne pouvez pas pénétrer la nature profonde des maths sans être un peu mathématicien. Il s’agit d’expérimenter le rapport très particulier entre le chemin et la conclusion, entre l’obscurité et la lumière. Si vous n’avez pas eu la joie de comprendre la démonstration d’un théorème, après vous être égaré, vous ne pouvez pas dire que vous êtes dans l’espace des maths.

Vous pointez une attitude aristocratique des mathématiciens…

Je parle des créateurs, mais on ne peut pas leur en tenir rigueur, créer demande une exigence radicale. De plus, ceux qui démontrent un théorème doivent accepter d’être jugés par un petit nombre de collègues capables de les comprendre. C’est donc inévitablement aristocratique. En revanche, ce que l’on peut faire, c’est enseigner le goût des maths à plus de gens. Hélas, les maths sont devenues un opérateur ennuyeux de sélection sociale. Nous gaspillons un trésor de la pensée, un moyen d’accéder à une joie très grande et très pure.

La méthode mathématique est-elle applicable à la philo ?

Le rapport de la philosophie aux maths n’est pas un rapport d’imitation. Le philosophe ne peut pas rivaliser avec le mathématicien dans le cheminement vers la vérité. Lorsque Descartes donne une preuve de l’existence de Dieu, je ne pense pas qu’il considère qu’il s’agit d’une preuve de même nature que dans l’algèbre géométrique. En mathématiques, une preuve est une preuve. En philosophie, une preuve est une proposition permettant de donner une explication vraisemblable. Je ne suis pas sûr que lorsque Spinoza, construit l’Ethique comme un raisonnement géométrique, il est convaincu de réaliser un travail comparable aux Eléments d’Euclide. Je prends un théorème que j’aime beaucoup : «Le repentir n’est pas une vertu», je ne suis pas certain que Spinoza considère qu’il a démontré ce point au sens mathématique du terme. Je dirai qu’il l’a inscrit dans un ordre, dont les Eléments sont l’origine.

Les maths sont une science démocratique dont nous faisons un instrument de sélection sociale?

C’est à cette contradiction qu’il faut réfléchir. Comment se peut-il qu’une discipline devant laquelle l’égalité est la plus complète devienne aussi élitiste.

Quelle en est la cause ?

L’enseignement est massivement inadéquat. Il n’est pas du tout destiné à intégrer les maths comme un élément de la culture générale, au même titre que la littérature. Faire comprendre à quelqu’un la démonstration subtile d’un théorème important est aussi nécessaire à la culture générale que de lui parler de l’Odyssée.

À l’inverse, vous n’êtes pas convaincu par l’arithmétique démocratique ?

Nous faisons jouer au nombre une fonction dont il faudrait admettre qu’elle est une simplification conventionnelle. Il n’y a aucune raison que la majorité ait raison. En tout cas, un mathématicien refuserait de le penser. Ceci dit, l’expérience montre que lorsqu’on y touche on ne sait pas trop ce que cela donne. Il faut d’abord avoir une idée directrice, une orientation.

Vous faites des maths ?

J’essaie d’en faire régulièrement. En ce moment, je m’intéresse aux derniers développements de la théorie de l’infini, ou plutôt des infinis, car il y en a plusieurs espèces.

Avez-vous éprouvé une joie comparable à celles que peuvent ressentir des mathématiciens ?

Absolument. Cela a commencé tout jeune, lorsque j’ai compris la vraie nature de la démonstration par Euclide du théorème : «Il y a une infinité de nombres premiers». Cela continue aujourd’hui, quand je considère le paysage grandiose des infinis mathématisés. J’entre dans les derniers développements de la théorie de l’infini.

Comme philosophe, avez-vous éprouvé ce type de joies ?

Qualitativement non. Ce ne sont pas les mêmes joies. En philosophie, la joie est indirecte. Nous sommes contents lorsque nous comprenons la raison de la joie. Nous sommes heureux de comprendre pourquoi il y a une joie mathématique. Je pense, pardonnez mon expression, que le philosophe est le maquereau des vérités. Le mathématicien, lui, touche à la vérité elle-même.
Relu et commenté par Pierre Cartier

L'histoire

PIERRE CARTIER
«Moi, qui ne suis pas marxiste, je vais me permettre de rappeler à Alain Badiou, qui se réclame du marxisme, qu’il a une vision trop statique, ahistorique des maths. Un seul exemple, s’il existe une internationale des maths, c’est parce que la Chine, après le Japon, s’est ralliée, il y a trente ans, au langage et à la formalisation définis en Occident. Par ailleurs, la vérité mathématique n’est pas immuable elle est faite pour être dépassée. Les maths sont le produit d’une histoire.»

L'aristocratie

«C’est vrai qu’il y a une attitude aristocratique. Beaucoup de mathématiciens ne se préoccupent pas d’être compris. Exemple extrême, Louis de Broglie disait qu’il ne fallait pas enseigner la mécanique quantique. Il l’interdisait tant qu’il était le patron. Il affirmait : «C’est comme une boutique de la rue de la Paix. On ne la met pas à la portée du vulgaire.» La mécanique quantique n’a été enseignée qu’à partir de 1964 et encore, de manière semi-clandestine.»

Le cheminement

«Badiou dit qu’il faut enseigner dans les mathématiques ce travail de raisonnement, car l’exemplarité mathématique est dans ce chemin. C’est vrai. Mais je pense que la démonstration n’est pas tout dans les maths. Il y a aussi la création et l’organisation de concepts nouveaux. Et la démonstration est le moyen le plus sûr d’organiser des concepts nouveaux.»

Le dépassement

«La vérité mathématique n’est pas immuable. Certes, il n’y a pas de remise en cause, Euclide a raison si l’on s’en tient à la géométrie plane. Mais, la géométrie post-euclidienne est un dépassement. Il y a des révolutions mathématiques aussi. De temps en temps, le point de vue change. Un triangle reste un triangle, pi reste égal à 3,1415, mais on remet en cause la perception, l’organisation. Au fond, c’est de la métaphysique.»

La diffusion

«Je ne suis pas sûr que le fossé se creuse entre les maths de monsieur Tout-le-Monde, celles de l’ingénieur et celles de la recherche la plus avancée. Ma petite fille de 4 ans s’amuse avec les nombres négatifs quand, en 1945, des ouvriers à qui je donnais des cours avaient toutes les peines du monde a les assimiler. Aujourd’hui, monsieur Tout-le-Monde sait que quand on a une dette, c’est moins quelque chose. Le but des maths est de devenir transparent au plus grand nombre et, de ce point de vue, on peut être optimiste.»

Philippe DOUROUX , Mathieu Blard

Eloge des mathématiques Alain Badiou, Gilles Haéri «Café Voltaire», Ed. Flammarion.Mathématiques en liberté Pierre Cartier, J. Dhombres, G. Heinzmann et c. villani Ed. La ville brûle, 2012.